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Mon premier thème de recherche concerne la propagation d’ondes dans des milieux dont les caractéristiques ou la géométrie comportent une longueur caractéristique de variation (représentée par un petit paramètre δ ) bien plus petite que la longueur d’onde moyenne λ du phénomène à l’étude.

$$ Jusqu’à présent, j’ai considéré des problèmes pour lesquels les structures multi-échelles n’occupent pas tout un volume, mais sont localisées. L’approche que j’adopte consiste à décrire, par la méthode des développements raccordés, le comportement de la solution u_δ(x) du problème exact lorsque δ/λ ->0. Cette analyse asymptotique permet de proposer un modèle approché, qui se prête bien mieux à une résolution numérique, et dont la solution tend vers la solution exacte lorsque les paramètres des petites échelles tendent vers zéro. Je propose ensuite une analyse d’un schéma numérique du modèle approché qui soit robuste vis-à-vis des petits paramètres. Je me suis intéressé en détail aux milieux comportant

• des petites inclusions : développement asymptotique à tout ordre, proposition de schémas « quasiment » dépourvus de verrouillage numérique, justifications d’un modèle heuristique déjà existant (formalisme de Holland et Simpson), implémentation en 2-D dans un code C++.

• des objets filiformes (collaboration avec F.Collino) : développement à tout ordre reposant notamment sur une régularisation des équations intégrales 1-D intervenant dans le raccord des développements asymptotiques, première justification théorique de l’équation de Hallen (équation 1-D pour la diffraction scalaire par un fil mince

• une couche mince rapidement oscillante (collaboration avec B.Delourme) : dérivation d’un développement à tout ordre, et d’une hiérarchie de modèles qui remplacent la couche mince par une condition de transmission adaptée.

Dans le cadre du projet ANR METAMATH dans lequel je collabore avec l’équipe POEMS ainsi que le projet DEFI et l’université de Toulon, j’étudie avec L.Chesnel et A-S.Bonnet-Bendhia le comportement des solutions de problèmes de propagation d’onde à l’interface entre un métamatériau et un milieu conventionnel lorsque l’interface comporte des singularités.

Depuis mon séjour postdoctoral à l’ETH de Zürich, je m’intéresse aux formulations intégrales pour la propagation d’ondes acoustiques ou électromagnétiques dans des milieux homogènes comportant des objets diffractant faits d’un assemblage quelconque de pièces (des "sous-domaines") de matériau homogène (éventuellement des pièces métalliques). Ces travaux ont été motivés par Thales Airborne System qui souhaitait résoudre des questions relatives au préconditionement d’une méthode de décomposition de domaines par équations intégrales.

Dans les problèmes de propagation que nous étudions, trois (ou plus) sous-domaines peuvent être adjacents ce qui jusqu’à présent soulevait de réels difficultés tant du point de vue de l’analyse, que sur le plan numérique. Pour ce contexte relativement général, j’ai proposé une nouvelle formulation intégrale, de seconde espèce, qui induit des matrices systématiquement bien conditionnées lorsqu’on utilise une discrétisation vérifiant certaines propriétés de stabilité. En collaboration avec Ralf Hiptmair, nous avons proposé une autre formulation, de première espèce cette fois, qui généralise la formulation EFIE. Nous avons établi de nombreuses propriétés remarquables de cette formulation, notamment une généralisation de la formule de Calderon. Ces résultats théoriques ont fait l’objets de plusieurs validation numériques en 2-D qui s’appuie sur la bibliothèque ie2m développée par A.Bendali (INSA/IMT Toulouse).

• Séminaire du projet INRIA DEFI à Saclay le 28 Novembre 2011
• Exposé à la conférence WAVES 25-29 Juillet 2011
• Séminaire à l’IMT, le 14 Décembre 2010
• Exposé d’overview à Oberwolfach, 14-20 Février 2010

Analyse asymptotique et numérique de la diffraction d’ondes par des fils minces

soutenue le 11 Décembre 2008 à l’Ecole Nationale Supérieure des Techniques Avancées (ENSTA) devant le jury suivant :

• X.Claeys and H.Haddar, Scattering from infinite rough tubular surfaces. Math.Methods Appl. Sci. 30 (2007), no. 4, 389–414. [ pdf ]
• X.Claeys, On the theoretical justification of Pocklington’s equation. Math. Models and Meth. Appl. Sci. 19 (2009), no. 8, 1325–1355. [ pdf ]
• X. Claeys and F. Collino, Augmented Galerkin Scheme for the Solution of Scattering by small obstacles, Numer. Math. 116 (2010) no. 2, 246-268. [ pdf ]
• X. Claeys and F. Collino, Asymptotic and numerical analysis for Holland and Simpson’s thin wire formalism, JCAM 235 (2011) 4418–4438. [ pdf ]
• X.Claeys and R.Hiptmair, Electromagnetic scattering at composite objects : a novel multi-trace boundary integral formulation, ESAIM Math.Model. Numer. Anal., 46 (2012) 1421-1445. [ pdf ]
• A-S.Bonnet, L.Chesnel and X.Claeys, Radiation condition for a non-smooth interface between a dielectric and a metamaterial, accepté dans Math. Models Methods Appl. Sci. [ pdf ]
• X.Claeys and R.Hiptmair, Boundary integral formulation of the first kind for acoustic scattering by composite structures, accepté dans Comm. Pure Appl. Math. [ pdf ]

• X.Claeys and B.Delourme, High order asymptotics for wave propagation across thin periodic interfaces, en révision pour Asymptot. Anal. [ pdf ]

• X.Claeys, A single trace integral formulation of the second kind for acoustic scattering in complex geometries, soumis à IMA J. Appl. Math. [ pdf ]

• X. Claeys. A single trace integral formulation of the second kind for acoustic scattering. Technical Report no. 2011-14, Seminar of Applied Mathematics, ETH, 2011.

• X.Claeys, Asymptotic analysis for the solution to the Helmholtz problemin the exterior of a finite thin straight wire INRIA, no. 6277, July 2007.

• X.Claeys and F.Collino, Augmented Galerkin schemes for the numerical solution of scattering by small obstacles. INRIA, no. 6195,May 2007.

• X.Claeys, H.Haddar et P.Joly, Étude d’un problème modèle pour la diffraction par des fils minces par développements asymptotiques raccordés Cas 2D. INRIA, no. 5839,May 2006.

• X.Claeys, Overview on a selection of recent works in asymptotic analysis for wave propagation problems. Conference on Computational Electromagnetism and Acoustics, OBERWOLFACH Germany, February 2010.

• X.Claeys, Matched Asymptotics in Small Inclusion Problems for a Class of Inhomogeneous Operators, WAVES, Pau France, June 2009.

• X.Claeys and F.Collino, A generalized Holland model for wave diffraction by thin wires. International Conference on Electromagnetics in Advanced Applications, ICEAA, Turin Italie, September 2007.

• X.Claeys, Theoretical justification of Pocklington’s equation for diffraction by thin wires. WAVES, Reading Angleterre, July 2007.